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]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{11.5 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{11.5.1}

因为$f: I \to \mathbb{R}$既是分段连续的，由定义11.5.4可知，
存在一个$I$的划分$P$，使得对所有的$J \in P$，$f|_J$都是$J$上的连续函数。
又因为$f$在$I$上是有界的，由命题11.5.3可知，
任意$J \in P$，$f|_J$在$J$上是黎曼可积的。

设$P$的基数为$n$，对任意$\epsilon/n > 0$，对每一个$J \in P$，我们能找到一个分段常数函数$h_J: J \to \mathbb{R}$在
$J$上从上方控制$f$，并且有
\begin{align*}
  \int_J h_J \leq \int_J f + \epsilon/n.
\end{align*}
定义函数$h: I \to \mathbb{R}$，对$x \in J, J \in P$为$h(x) = h_J(x)$。于是$h$在$I$上从上方控制$f$的分段常数函数。\\
从而
\begin{align*}
  \overline{\int}_I f & \leq \int_I h
\end{align*}
由习题11.4.3可知（分段常值积分是特例）
\begin{align*}
  \int_I h = \sum\limits_{J \in P} \int_J h_J
\end{align*}
于是
\begin{align*}
  \overline{\int}_I f & \leq \int_I h                                  \\
                      & = \sum\limits_{J \in P} \int_J h_J             \\
                      & \leq \sum\limits_{J \in P} \int_J f + \epsilon
\end{align*}
同理可得
\begin{align*}
  \underline{\int}_I f \geq \sum\limits_{J \in P} \int_J f - \epsilon.
\end{align*}
于是可得
\begin{align*}
  0 \leq \overline{\int}_I - \underline{\int}_I \leq 2\epsilon.
\end{align*}
但$\epsilon$是任意的，所以$f$是黎曼可积的。

\end{document}